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等价无穷小量证明

直接使用泰勒公式展开,(1+x)^(1/n)=1+x/n+(1-n)/n^2*2!*x^2+.从第三项开始都是x的高阶无穷小量,故(1+x)^(1/n)~1+x/n也即(1+x)^(1/n)-1~x/n

用x的n次方来除,然后计算极限,极限存在即可证明出.如下:

原式→1+x~(1+x/n)^n→1+x~(1+x/n)^[(n/x)*x]→1+x~e^x→ln(1+x)~x

解:lim(x→0)[(1+x)^a/ax] =lim(x→0)[a(1+x)^(a-1)/a](洛必达法则) =lim(x→0)[(1+x)^(a-1)] =1 故当x趋于0时(1+x)^a~ax 两者为等价无穷小

这是高数中的一个定理 证明时可以将右边的除到左边来,利用洛毕达法则,同时求导,最终可得为1,则证明了等价无穷小

证明一:利用①exp(u)-1~u;②ln(1+t)~t;③等价无穷小具有传递性.可得: (1+x)^(1/n)-1=exp[(1/n)ln(1+x)]-1~(1/n)ln(1+x)~(1/n)x 证明二:只给提示【利用分子有理化】 (1+x)^(1/n)-1=[(1+x)-1^n]/【[(1+x)^(n-1)/n]+[(1+x)^(n-2)/n]+[(1+x)^(n-3)/n]+[(1+x)^(n-4)/n]+……+1】.

^^证明抄如下:袭令bait=a^dux-1,则zhix=log(a)(1+t),∴原式dao=(lim(t→0)(t/log(a)(1+t)))/lna=(lim(t→0)(1/log(a)((1+t)^(1/t))))/lna=(1/log(a)(e))/lna=1.

若要证明等价,只需证[(1+x)-1]/nx 极限为1. 而有泰勒公式得,(1+x)=1+nx+[n(n-1)/2!]x+……+]n(n-1)……(n-n+1)/n!]x 接下来就是很常规的求极限运算了,我想你应该是不太清楚泰勒公式,可以去了解一下这一部分

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